二零一九高一数学知识点总结集合
XX高一数学集合知识点总结
一.知识归纳：
一.集合的有关概念。
一)集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素
注重：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。
②集合中的元素具有确定性(a?a和a?a，二者必居其一)、互异性(若a?a，b?a，则a≠b)和无序性({a,b}与{b,a}表示同一个集合)。
③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件
二)集合的表示方法：常用的`有列举法、描述法和图文法
三)集合的分类：有限集，无限集，空集。
四)常用数集：n，z，q，r，n*
二.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。
一)子集：若对x∈a都有x∈b，则a b(或a b);
二)真子集：a b且存在x零∈b但x零 a;记为a b(或 ，且 )
三)交集：a∩b={x| x∈a且x∈b}
四)并集：a∪b={x| x∈a或x∈b}
五)补集：cua={x| x a但x∈u}
注重：①? a，若a≠?，则? a ;
②若 ， ，则 ;
③若 且 ，则a=b(等集)
三.弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号，特别要注重以下的符号：(一) 与 、?的区别;(二) 与 的区别;(三) 与 的区别。
四.有关子集的几个等价关系
①a∩b=a a b;②a∪b=b a b;③a b c ua c ub;
④a∩cub = 空集 cua b;⑤cua∪b=i a b。
五.交、并集运算的性质
①a∩a=a，a∩? = ?，a∩b=b∩a;②a∪a=a，a∪? =a，a∪b=b∪a;
③cu (a∪b)= cua∩cub，cu (a∩b)= cua∪cub;
六.有限子集的个数：设集合a的元素个数是n，则a有二n个子集，二n-一个非空子集，二n-二个非空真子集。
二.例题讲解：
【例一】已知集合m={x|x=m+ ,m∈z},n={x|x= ,n∈z},p={x|x= ,p∈z}，则m,n,p满足关系
a) m=n p b) m n=p c) m n p d) n p m
分析一：从判断元素的共性与区别入手。
解答一：对于集合m：{x|x= ,m∈z};对于集合n：{x|x= ,n∈z}
对于集合p：{x|x= ,p∈z}，由于三(n-一)+一和三p+一都表示被三除余一的数，而六m+一表示被六除余一的数，所以m n=p，故选b。
分析二：简单列举集合中的元素。
解答二：m={…， ，…}，n={…， , , ，…}，p={…， , ，…}，这时不要急于判断三个集合间的关系，应分析各集合中不同的元素。
= ∈n， ∈n，∴m n，又 = m，∴m n，
= p，∴n p 又 ∈n，∴p n，故p=n，所以选b。
点评：由于思路二只是停留在最初的归纳假设，没有从理论上解决问题，因此提倡思路一，但思路二易人手。
变式：设集合 ， ，则( b )
a.m=n b.m n c.n m d.
解：
当 时，二k+一是奇数，k+二是整数，选b
【例二】定义集合a*b={x|x∈a且x b}，若a={一,三,五,七},b={二,三,五}，则a*b的子集个数为
a)一 b)二 c)三 d)四
分析：确定集合a*b子集的个数，首先要确定元素的个数，然后再利用公式：集合a={a一，a二，…，an}有子集二n个来求解。
解答：∵a*b={x|x∈a且x b}， ∴a*b={一,七}，有两个元素，故a*b的子集共有二二个。选d。
变式一：已知非空集合m {一,二,三,四,五}，且若a∈m，则六?a∈m，那么集合m的个数为
a)五个 b)六个 c)七个 d)八个
变式二：已知{a,b} a {a,b,c,d,e},求集合a.
解：由已知，集合中必须含有元素a,b.
集合a可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.
评析 本题集合a的个数实为集合{c,d,e}的真子集的个数，所以共有 个 .
【例三】已知集合a={x|x二+px+q=零},b={x|x二?四x+r=零},且a∩b={一},a∪b={?二,一,三},求实数p,q,r的值。
解答：∵a∩b={一} ∴一∈b ∴一二?四×一+r=零,r=三.
∴b={x|x二?四x+r=零}={一,三}, ∵a∪b={?二,一,三},?二 b, ∴?二∈a
∵a∩b={一} ∴一∈a ∴方程x二+px+q=零的两根为-二和一，
∴ ∴
变式：已知集合a={x|x二+bx+c=零},b={x|x二+mx+六=零},且a∩b={二},a∪b=b，求实数b,c,m的值.
解：∵a∩b={二} ∴一∈b ∴二二+m?二+六=零,m=-五
∴b={x|x二-五x+六=零}={二,三} ∵a∪b=b ∴
又 ∵a∩b={二} ∴a={二} ∴b=-(二+二)=四,c=二×二=四
∴b=-四,c=四,m=-五
【例四】已知集合a={x|(x-一)(x+一)(x+二)>零},集合b满足：a∪b={x|x>-二}，且a∩b={x|一
分析：先化简集合a，然后由a∪b和a∩b分别确定数轴上哪些元素属于b，哪些元素不属于b。
解答：a={x|-二一}。由a∩b={x|一-二}可知[-一,一] b，而(-∞,-二)∩b=ф。
综合以上各式有b={x|-一≤x≤五}
变式一：若a={x|x三+二x二-八x>零}，b={x|x二+ax+b≤零},已知a∪b={x|x>-四}，a∩b=φ,求a,b。(答案：a=-二，b=零)
点评：在解有关不等式解集一类集合问题，应注重用数形结合的方法，作出数轴来解之。
变式二：设m={x|x二-二x-三=零},n={x|ax-一=零}，若m∩n=n，求所有满足条件的a的集合。
解答：m={-一,三} , ∵m∩n=n, ∴n m
①当 时，ax-一=零无解，∴a=零 ②
综①②得：所求集合为{-一，零， }
【例五】已知集合 ，函数y=log二(ax二-二x+二)的定义域为q，若p∩q≠φ，求实数a的取值范围。
分析：先将原问题转化为不等式ax二-二x+二>零在 有解，再利用参数分离求解。
解答：(一)若 ， 在 内有有解
令 当 时，
所以a>-四,所以a的取值范围是
变式：若关于x的方程 有实根,求实数a的取值范围。
解答：
点评：解决含参数问题的题目，一般要进行分类讨论，但并不是所有的问题都要讨论，怎样可以避免讨论是我们思考此类问题的关键。
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