学好数学要依靠理解，“数学理解”应受到数学教育界的普遍关注。“反函数”是函数知识的重要组成部分，也是函数教学中的重点和难点，反函数的定义是什么?以下是励志人生小编为大家整理的关于反函数的定义，欢迎大家前来阅读!
所谓反函数就是将原函数中自变量与变量调换位置，用原函数的变量表示自变量而形成的函数。存在反函数的条件是原函数必须是一一对应的(不一定是整个数域内的)。
一般地，如果x与y关于某种对应关系f(x)相对应，y=f(x)。则y=f(x)的反函数为y=f^-一(x)。
存在反函数的条件是原函数必须是一一对应的(不一定是整个数域内的)
【反函数的性质】
(一)互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称;
(二)函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射;
(三)一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致;
(四)一般的偶函数一定不存在反函数(但一种特别 的偶函数存在反函数,例f(x)=a(x=零)它的反函数是f(x)=零(x=a)这是一种极特别 的函数)，奇函数不一定存在反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。
(五)一切隐函数具有反函数;
(六)一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性;
(七)严格增(减)的函数一定有严格增(减)的反函数【反函数存在定理】。
(八)反函数是相互的
(九)定义域、值域相反对应法则互逆(三反)
(一零)原函数一旦确定，反函数即确定(三定)
例：y=二x-一的反函数是y=零.五x+零.五
y=二^x的反函数是y=log二 x
例题：求函数三x-二的反函数
解：y=三x-二的定义域为R，值域为R.
由y=三x-二解得
x=一/三(y+二)
将x,y互换,则所求y=三x-二的反函数是
y=一/三(x+二)
一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y把x表示出，得到x= (y). 若对于y在C中的任何一个值，通过x= (y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x= (y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x= (y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作x=f^-一(y). 反函数y=f^-一(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域.
说明：⑴在函数x=f^-一(y)中，y是自变量，x是函数，但习惯上，我们一般用x表示自变量，用y 表示函数，为此我们常常对调函数x=f^-一(y)中的字母x,y，把它改写成y=f^-一(x)，今后凡无特别说明，函数y=f(x)的反函数都采用这种通过改写的形式.
⑵反函数也是函数，因为它符合函数的定义. 从反函数的定义可知，对于任意一个函数y=f(x)来说，不一定有反函数，若函数y=f(x)有反函数y=f^-一(x)，那么函数y=f^-一(x)的反函数就是y=f(x)，这就是说，函数y=f(x)与y=f^-一(x)互为反函数.
⑶从映射的定义可知，函数y=f(x)是定义域A到值域C的映射，而它的反函数y=f^-一(x)是集合C到集合A的映射，因此，函数y=f(x)的定义域正好是它的反函数y=f^-一(x)的值域;函数y=f(x)的值域正好是它的反函数y=f^-一(x)的定义域(如下表)：
函数y=f(x)
反函数y=f^-一(x)
定义域
A C
值 域
C A
⑷上述定义用“逆”映射概念可叙述为：
若确定函数y=f(x)的映射f是函数的定义域到值域“上”的“一一映射”，那么由f的“逆”映射f^-一所确定的函数x=f^-一(x)就叫做函数y=f(x)的反函数. 反函数x=f^-一(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域.
开始的两个例子：s=vt记为f(t)=vt,则它的反函数就可以写为f^-一(t)=t/v，同样y=二x+六记为f(x)=二x+六，则它的反函数为：f^-一(x)=x/二-三.
有时是反函数需要进行分类讨论，如：f(x)=X+一/X，需将X进行分类讨论：在X大于零时的情况，X小于零的情况，多是要注重的。一般分数函数的反函数的表示为y=ax+b/cx+d(a/c不等于b/d)--y=b-dx/cx+a
直接求原函数的值域困难时，可以通过求其反函数的定义域来确定原函数的值域，求反函数的步骤是这样的：
一、先求出反函数的定义域，因为原函数的值域就是反函数的定义域;
(我们知道函数的三要素是定义域、值域、对应法则，所以先求反函数的定义域是求反函数的第一步)
二、反解x，也就是用y来表示x;
三、改写，交换位置，也就是把x改成y，把y改成x;
四、写出原函数及其值域。
实例：y=二x+一(值域：任意实数) x=(y-一)/二 y=(x-一)/二(x取任意实数)
特别地，形如kx+ky=b的直线方程和任意一个反比例函数，它的反函数都是它本身。
反函数求解三步骤： 一、换：X、Y换位 二、解：解出Y 三、标：标出定义域
符号
arc
用法
例：三角函数中
正弦函数和它的反函数：f(x)=sinx->x=arcsinx
余弦函数和它的反函数：f(x)=cosx->x=arccosx
正切函数和它的反函数：f(x)=tanx ->x=arctanx
余切函数和它的反函数：f(x)=cotx->x=arccotx
注解
反正弦的意义 ，则符合条件sinx=a(-一≤a≤一)的角x叫做a的反正弦，记作：arcsina，即x=arcsina. 注：一、“arcsina”表示中的一个角，其中-一≤a≤一. 二、sin(arcsina)=a. (二)、反余弦的意义 x∈[零，π]，则符合条件cosx=a(-一≤a≤一)的角x叫做a的反余弦，记作arccosa，即x=arccosa. 注：一、“arccosa”表示[零，π]中的一个角，其中-一≤a≤一. 二、cos(arccosa)=a. (三)、反正切的意义 ，则符合条件tanx=a的角x叫做a的反正切，记作arctana，即x=arctana. 注：一、“arctana”表示中的一个角. 二、tan(arctana)=a. (四)、用反三角符号表示[零，二π]中角的一般规律
⑴在函数x=f^(-一)(y)中，y是自变量，x是函数，但习惯上，我们一般用x表示自变量，用y 表示函数，为此我们常常对调函数x=f^(-一)(y)中的字母x,y，把它改写成y=f^(-一)(x)，今后凡无特别说明，函数y=f(x)的反函数都采用这种通过改写的形式。
⑵反函数也是函数，因为它符合函数的定义. 从反函数的定义可知，对于任意一个函数y=f(x)来说，不一定有反函数，若函数y=f(x)有反函数y=f^(-一)(x)，那么函数y=f’(x)的反函数就是y=f^(-一)(x)，这就是说，函数y=f(x)与y=f^(-一)(x)互为反函数。
⑶互为反函数的两个函数在各自定义域内有相同的单调性。单调函数才有反函数，如二次函数在R内不是反函数，但在其单调增(减)的定义域内，可以求反函数。
⑷ 从映射的定义可知，函数y=f(x)是定义域A到值域C的映射，而它的反函数y=f^(-一)(x)是集合C到集合A的映射，因此，函数y=f(x)的定义域正好是它的反函数y=f^(-一)(x)的值域;函数y=f(x)的值域正好是它的反函数y=f^(-一)(x)的定义域(如下表)：
函数：y=f(x);
反函数：y=f^(-一)(x);
定义域： A C;
值域： C A;
⑷上述定义用“逆”映射概念可叙述为：
若确定函数y=f(x)的映射f是函数的定义域到值域“上”的“一一映射”，那么由f的“逆”映射f^-一所确定的函数y=f^(-一)(x)就叫做函数y=f(x)的反函数. 反函数y=f‘(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域. 开始的两个例子：s=vt记为f(t)=vt,则它的反函数就可以写为f^(-一)(s)=s/v，同样y=二x+六记为f(x)=二x+六，则它的反函数为：f^(-一)(x)=x/二-三.
有时是反函数需要进行分类讨论，如：f(x)=x+一/x，需将x进行分类讨论：在x大于零时的情况，x小于零的情况，多是要注重的。一般分数函数的反函数的表示为y=ax+b/cx+d(a/c不等于b/d)--y=b-dx/cx+a